2.11 - Allgemeiner Ansatz

Die Frage ist:

Wie lautet ein allgemein möglicher Ansatz für ein Schwingungsgefüge?
Die Antwort liefert die Laplace-Gleichung.

Pierre-Simon (Marquis de) Laplace (28.03.1749 bis 05.03.1827) war ein französischer Mathematiker, Physiker und Astronom. Er arbeitete unter anderem auf den Gebieten der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Differentialgleichungen.
Laplace war immer mehr Physiker als Mathematiker. Die Mathematik diente ihm nur als Werkzeug. Heute sind aber die mathematischen Verfahren, die Laplace entwickelte und anwandte, wichtiger geworden als sein eigentliches astronomisches Werk.
Die wichtigsten mathematischen Werkzeuge sind der Laplace-Operator, die Laplace-Gleichung der Laplacesche Entwicklungssatz, sowie die Laplace-Transformation.

Der Laplace-Operator Nabla ist ein mathematischer Operator d.h. es handelt sich hier um eine allgemeine mathematische Vorschrift (Rechenweg). Der Laplace-Operator ist ein vektorieller Differentialoperator innerhalb der mehrdimensionalen Analysis.

Der Laplace-Operator tritt beispielsweise in der Laplace-Gleichung auf. Zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen.

Die Laplace-Gleichung stellt somit eine mathematische Formel zur Beschreibung von Schwingungsphänomenen im Raum dar.

Der allgemein übliche Ansatz für eine Lösung mit einer zentralen Konfiguration besteht darin die kartesischen Koordinaten (x, y, z) in Kugelkoordinaten (λ, φ, r) zu transformieren.

Dann wird die gesamte Funktion in zwei Teilfunktionen zerlegt. Wobei eine Funktion den Winkelanteil und die andere Funktion den Radialanteil enthält.

Der allgemeine Ansatz für eine Lösungsfunktion der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten sieht dann so aus

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ISBN 978-3-7494-8112-5

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